Algebra Booleana

ALGEBRA BOOLEANA

La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.
Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc). En este capítulo se presentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los resultados más importantes, se presentan también los tres ejemplos clásicos de álgebras boolenas (lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicas como tablas de verdad y diagramas de Venn.

POSTULADOS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA

El Álgebra de Boole, fue presentada originalmente por el inglés George Boole, en el año de 1854 en su artículo “An Investigation of the Laws of Thoght”, sin embargo, las primeras aplicaciones a circuitos de conmutación fueron desarrolladas por Claude Shannon en su tesis doctoral ‘Análisis simbólico de los circuitos de conmutación y relésH hasta 1938. A continuación se presentan los postulados fundamentales del álgebra de Boole.

POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Postulado 1. Definición, El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual contiene dos o más elementos y entre los se definen dos operaciones denominadas “suma u operación OR” (+) y “producto o multiplicación u operación AND” (*), las cuales cumplen con las siguientes propiedades:

Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:
(a) x + O = x
(b) x 1 = x

Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:
(a) x+y = y+x
(b) xy =yx

Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x+ (y + z) = (x + y) + z
(b) x*(y*z) = (x*y) *z

Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x+(y*z)=(x+y) * (x+z)
(b) x*(y+z)=(x*y)+(x*z)

Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que
(a)x+X =1
(b)x X=O